Дифференциалдық теңдеу

Home » Рефераттар » Дифференциалдық теңдеу
Рефераттар Комментариев нет

Дифференциалдық теңдеулер — функциясы бар туынды функциясының мәнін қатысты теңдеу, тәуелсіз айнымалы сандар мәндер (параметрлері). Теңдеудің туынды тәртібі (формальды ол шектелген жоқ) әр түрлі болуы мүмкін. Туынды қаржы құралдары функциялары тәуелсіз айнымалылар және параметрлер әр түрлі комбинациялары немесе барлық теңдеулер енгізілген, бірақ кем дегенде бір туынды өзі жоқ болуы мүмкін. Белгісіз функцияның бар туынды емес, кез-келген теңдеу дифференциалдық теңдеу болып табылады. Мысалы, \ F (х) = F (F (X)) дифференциалдық теңдеу болып табылады.
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеу теңдеулер саны бастапқы теңдеудің мақсатында тең, онда бірінші ретті теңдеулер жүйесі айналдыруға болады.

Тиімді аналитикалық нысанда, оның шешімі түбіртек талап етпей қарапайым дифференциалдық теңдеулер сандық шешімін қамтамасыз ету үшін қазіргі заманғы жоғары жылдамдықты компьютерлер. Бұл қарапайым дифференциалдық теңдеулер шешуге азайтылуы мүмкін болса, бұл, ерітінді, бұл дау кейбір зерттеушілер соқты.

Терминология және жіктеу

Тапсырыс, немесе дифференциалдық теңдеудің дәрежесі — бұл пайда жоғары тәртібі туынды.

Ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі (интегралды) N кейбір интервал , б) туынды у ‘(х), у‘ ‘(х), …, у ^ {(N)} (бар функция у (х) болып табылады, х) тапсырысы дейін N инклюзивті және осы теңдеуді қанағаттандыратын. Дифференциалдық теңдеуді шешу процесі интеграция деп аталады. Дифференциалдық теңдеулер интеграция мәселесі белгісіз функцияны табу қарамастан нәтижесінде ажырамас белгілі функцияларды немесе жоқ қорытынды түрінде білдірді ма квадратуре азайтуға болады, егер шешілді деп саналады.
Барлық дифференциалдық теңдеулер бір дәлел функцияларды ғана (және олардың туындылары) кіреді Жай нөмірлер (ҚДТ), және енгізілген функцияларды көптеген айнымалы тәуелді туындылы дифференциалдық теңдеулер (ӘГП), бөлуге болады. Кездейсоқ процестерді, соның ішінде стохастикалық дифференциалдық теңдеулер (ЕТҚ), сондай-ақ бар.

Тәуелсіз айнымалы дифференциалдық теңдеулер функцияларын туынды құрамаларынан байланысты біртекті немесе гетерогенді, тұрақты немесе айнымалы коэффициентті сызықтық және сызықтық емес болып екіге бөлінеді. Байланысты бөлінген квази сызықтық жеке сыныпта өтінімдерді маңызы бар (жоғары туынды қатысты сызықтық) ішінара дифференциалдық теңдеу.
Дифференциалдық теңдеулер үшін ең маңызды мәселе шешімдерінің бар болуы және жалғыздығы болып табылады. Осы мәселе қаулысы осы үшін қажетті және жеткілікті шарттарын көрсете отырып, өмір мен жалғыздығы теоремалары береді. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін осындай жағдайлар Липшица (1864) әзірленді. Теореманы тиісті туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Ковалевской (1874) арқылы дәлелденді.

Дифференциалдық теңдеулер шешімдер жалпы және нақты шешімдер бөлінеді. Жалпы шешімдер белгісіз тұрақтылар, және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін — қосымша жағдайлар (қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы шарттары, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы және шекаралық шарттар) интеграция тазартылған болатын тәуелсіз айнымалы еркін функциялары. Түрін анықтау кейін тұрақты және белгісіз шешім функциялары жеке көрсетілген.
Арнайы функцияларды сынып құруға әкелді қарапайым дифференциалдық теңдеулер шешімдерін табу жиі функцияларын қосымшалар кездесетін белгілі қарапайым функцияларын терминдерінде емес. Олардың қасиеттері құндылықтарды кестелер өзара сілтемелер анықталады, егжей-тегжейлі зерттеп, және тағы басқалар шықты
Кейбір жағдайларда рұқсат дифференциалдық теңдеулер теориясының дамуы, енгізу функцияларын үздіксіздігі туралы талап және дифференциалдық теңдеулер жалпылама шешімдер бас тартады.

Алғашында дифференциалдық теңдеулер, ол органдардың координаталарын анықтау үшін қажет болды, онда механика мәселелері, туындады, олардың жылдамдығы мен жеделдету, түрлі әсер уақыт функциясы ретінде қарастырылады. Теңдеулер дифференциалдық, сондай-ақ геометриялық проблемаларды, ал кейбір қарауды беріледі.
Дифференциалдық теориясының негізі дифференциалдық есептеулері Лейбниц және Ньютон (1642-1727) құрылды теңдеулер. Термин «дифференциалдық теңдеулер» Лейбниц бойынша 1676 жылы ұсынған болатын.
Эйлер (1707-1783) және Лагранж (1736-1813) жұмысын ерекшеленеді дифференциалдық теңдеулер бойынша XVIII ғасырдың жұмыстардың үлкен санының. ; Дифференциалдық теңдеулер сызықтық жүйелердің теориясы — Осы зерттеулердің, бірінші шағын тербеліс теориясын дамытып, және, демек, болды бір мезгілде сызықтық алгебра негізгі ұғымдар (N өлшемді жағдайда Меншікті мәндер мен векторлар) бар. Қорытындысы бойынша Ньютон мен Лагранж, Лаплас, кейінірек Гаусс (1777-1855) наразылық теориясы әдістерін әзірлеу.

Ол радикалдар алгебралық теңдеулер шешілмейтін дәлелденген кезде Иосиф Лиувилля (1809-1882) дифференциалдық теңдеулер үшін ұқсас теориясын құрды, бастауыш функциялары мен Квадратурные (екінші ретті сызықтық теңдеулер ретінде, атап айтқанда, мұндай классикалық) теңдеулер бірқатар шешімдерді анықтау мүмкін емес. Кейінірек С Ли (1842-1899), квадратур теңдеулер интеграция мәселесін талдау, егжей-тегжейлі (кейінірек Ли топтары атауын алды) диффеоморфизмов тобын зерттеу қажеттігін келді — осылайша, дифференциалдық теңдеулер теориясы одан әрі әзірленді қазіргі заманғы математика ең жемісті бағыттарының бірі, пайда өте тығыз басқа да мәселелер (алгебра, тіпті бұрын қаралған Симеон-Denis Пуассон (1781-1840), және, әсіресе, Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) Ли) байланысты.
Дифференциалдық теңдеулер теориясы дамуының жаңа кезеңі Анри Пуанкаре (1854-1912) еңбектерімен басталады, ол қазіргі заманғы топологиясы негізін қалыптасқан күрделі айнымалы функциялар теориясы «дифференциалдық теңдеулер сапалық теориясы», құрылды. Сапалы дифференциалдық теңдеулер теориясы, немесе ол қазір әдетте динамикалық жүйелер теориясы деп аталады, өйткені қазір белсенді түрде дамып және ғылым маңызды бағдарламаларды бар жатыр.

Жай дифференциалдық теңдеулер

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер (ҚДТ) — бір тәуелсіз айнымалы тәуелді теңдеулер болып табылады; олар нысанын бар

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! или F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0, қалдырды! немесе ~y=y(x), онда — тәуелсіз айнымалы байланысты белгісіз функциясы (жиі дифференциалдық теңдеулер жүйесін айтуға, бұл жағдайда мүмкін векторфункция), ~ х, премьер ~ х қатысты саралануды білдіреді. Саны ~ N дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Ең маңызды бірінші және екінші ретті дифференциалдық теңдеулер іс жүзінде болып табылады. Ретті дифференциалдық теңдеу теңдеу пайда жоғары тәртібі туынды деп аталады.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер класы, ең оңай өлшенетін шешімдер мен ғылыми-зерттеу. Ол толық дифференциалдық теңдеулер, бөлінетін айнымалылар теңдеулерді, Бірінші ретті Бірінші ретті сызықтық теңдеулер біртекті теңдеулер кіреді. Барлық осы теңдеулер жабық түрінде біріктірілген болады.

Тұсаукесер нүктесі Vol жазылған бірінші ретті дифференциалдық теңдеу ретінде қызмет етеді. Н. симметриялық нысаны: 

\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),\!

функция P(t,x) и Q(t,x) белгілі және үзілмейді \Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}.

Ішінара дифференциалдық теңдеу (ӘГП) — бұл бірнеше айнымалы және олардың туындылы белгісіз функцияларын қамтитын теңдеу болып табылады. Осы теңдеулер жалпы көрінісі ретінде жазуға боладыF \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

онда x_1, x_2,\dots, x_m нүктелер, x_m — тәуелсіз айнымалы, және а z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — осы айнымалылардың функциясы. Тапсырыс туындылы дифференциалдық теңдеулер қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін, сол сияқты анықталуы мүмкін. Туындылы дифференциалдық теңдеулер Тағы бір маңызды жіктеу, әсіресе екінші ретті теңдеулер үшін, эллиптикалық, параболалық және гиперболалық типті теңдеу олардың бөлімшесі болып табылады.

Сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер сызықты және сызықты емес бөлуге болады ретінде. Дифференциалдық теңдеулер белгісіз функция болса, оның туындылары бірінші қуаты (бір-бірімен көбейтіледі емес) теңдеудің енгізілген, сызықтық болып табылады. Осы теңдеулер шешу үшін функцияларды аффинное подпространство қалыптастырады. Сызықтық басқару теориясы Сызықтық теңдеулер теориясы қарағанда әлдеқайда тереңірек әзірледі. N-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі:~p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x),

онда PI (х) — тәуелсіз айнымалы белгілі функциялар теңдеудің коэффициенттері деп аталады. Оң жағында функциясы R (X) сызықтық теңдеулер маңызды арнайы сынып Тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер үнемі мерзімді (белгісіз функциясы байланысты емес тек мерзімді) деп аталады.
Сызықтық теңдеулер субкласы біртекті дифференциалдық теңдеулер болып табылады — еркін термині бар емес, теңдеулер: R (X) суперпозицию принципін біртекті дифференциалдық теңдеулер үшін 0 = өткізеді: осы теңдеулер, атап айтқанда, шешімдер сызықтық комбинациясы, сондай-ақ, оның шешім болады. Барлық басқа сызықтық дифференциалдық теңдеулер біртекті дифференциалдық теңдеулер деп аталады.
 
Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі функция түрінде дифференциалдық теңдеулер подставить ең жалпы нысаны болып табылады, F(x,\;y,\;y',\;y'',\;\ldots,\;y^{(n)})=0, Егер жеке басын айналдырады.
: Дифференциалдық теңдеулер әр шешім ретінде ұсынылуы мүмкін болса,  
y=\varphi(x,\;C_{1}^{0},\;C_{2}^{0},\;\ldots,\;C_{n}^{0}),
где C_{1}^{0},\;\;C_{2}^{0},\;\;\ldots,\;\;C_{n}^{0} — нақты сандар, онда функция былай болады

y=\varphi(x,\;C_{1},\;C_{2},\;\ldots,\;C_{n})

LEAVE A COMMENT

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.